ISSN 2953-6367
julio - diciembre 2025
http://revistainvestigo.com
Vol. 6, No. 16, PP. 489-501
https://doi.org/10.56519/mp3bqt87
Revista Científica Multidisciplinaria InvestiGo
Riobamba – Ecuador
Cel: +593 97 911 9620
revisinvestigo@gmail.com
489
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA
FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
DETECTION AND CONVERGENCE OF APPROXIMANTS FOR
LATENT VERTICAL FAILURES ON DISCONTINUOUS SURFACES
Jessica Esthefania Paredes Morales
1
, Ramón Antonio Abancín Ospina
2
{jessica.paredes@unach.edu.ec
1
, ramon.abancin@espoch.edu.ec
2
}
Fecha de recepción: 13/06/2025 / Fecha de aceptación: 01/07/2025 / Fecha de publicación: 01/07/2025
RESUMEN: La detección y/o aproximación de discontinuidades en funciones no regulares,
definidas explícitamente por
a partir de un conjunto de datos dispersos e
irregulares de tipo Lagrange, representa un reto teórico con múltiples aplicaciones prácticas.
Entre estas aplicaciones destaca la modelización geológica, que requiere la construcción de
aproximaciones precisas para la localización de fallas (ya sean verticales, oblicuas, directas o
inversas). En este contexto, desde una perspectiva teórica orientada a la aplicación práctica, el
objetivo de la investigación fue construir aproximaciones para localizar fallas verticales en
superficies discontinuas y estudiar su convergencia. Para ello, la metodología se basó en lo
siguiente: partiendo de un conjunto de datos sintéticos de tipo Lagrange, dispersos e
irregulares, el primer paso fue construir una secuencia de curvas poligonales que aproximan y
localizan la falla vertical estudiada; y el segundo paso fue analizar la convergencia de estas
aproximaciones. El principal resultado fue la implementación computacional en Python de la
metodología para detectar fallas verticales latentes en superficies discontinuas, que utiliza
datos dispersos de tipo Lagrange. Esta técnica genera familias de curvas poligonales
aproximadas que convergen a la falla original. Se concluye que la metodología propuesta para
la detección y convergencia de fallas verticales latentes en superficies discontinuas sienta las
bases para construir aproximaciones óptimas. Donde, estas aproximaciones son lo
suficientemente flexibles para adaptarse a los requisitos de entrada necesarios para su futura
implementación numérica y computacional en algoritmos enfocados al proceso de
aproximación de funciones no regulares.
Palabras clave: Superficies discontinuas, detección de discontinuidades, aproximación de
discontinuidades, fallas verticales, curvas poligonales, convergencia de aproximantes
1
Dirección de Posgrado, Programa de Maestría en Matemática aplicada con mención en Matemática Computacional,
Universidad Nacional de Chimborazo (UNACH), Ecuador, https://orcid.org/0000-0002-9163-3561.
2
Facultad de Ciencias, Carrera de Matemática, Grupo de Investigación CIDED, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
(ESPOCH). Doctorado en Matemáticas, Universidad Simón Bolívar (USB), Venezuela, https://orcid.org/0000-0002-2417-6671.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
490
ABSTRACT:
The detection and/or approximation of discontinuities in non-regular functions,
explicitly defined
by from a set of dispersed and irregular Lagrangian-
type data, represents a theoretical challenge with multiple practical applications. Among
these applications, geological modeling stands out, which requires the construction of precise
approximations for the location of faults (whether vertical, oblique, direct, or inverse). In this
context, from a theoretical perspective oriented towards practical application, the objective
of the research was to construct approximations to locate vertical faults on discontinuous
surfaces and study their convergence. For this purpose, the methodology was based on the
following: starting from a set of synthetic Lagrangian-type data, dispersed and irregular, the
first step was to construct a sequence of polygonal curves that approximate and locate the
vertical fault studied; and the second step was to analyze the convergence of these
approximations. The main result was the computational implementation in Python of the
methodology for detecting latent vertical faults on discontinuous surfaces, which uses sparse
Lagrangian data. This technique generates families of approximate polygonal curves that
converge to the original fault. It is concluded that the proposed methodology for the
detection and convergence of latent vertical faults on discontinuous surfaces lays the
groundwork for constructing optimal approximations. These approximations are flexible
enough to adapt to the input requirements necessary for their future numerical and
computational implementation in algorithms focused on the approximation process of non-
regular functions.
Keywords: Discontinuous surfaces, detection of discontinuities, approximation of
discontinuities, vertical faults, polygonal curves, convergence of approximants
INTRODUCCIÓN
Los métodos para identificar y aproximar conjuntos de discontinuidades en funciones no
regulares (o discontinuas) poseen aplicaciones diversas, cuya implementación depende
críticamente del contexto y la distribución de los datos (1), (2). En el ámbito del procesamiento
de imágenes, por ejemplo, los datos suelen estar regularmente distribuidos (e.g., píxeles), lo
que permite emplear técnicas de detección de bordes para extraer contornos y perfiles, con
aplicaciones en infografía, reconocimiento de patrones, imágenes satelitales y diagnósticos
médicos (3), (4). Por otro lado, en problemas geológicos como la localización de fallas verticales,
es común trabajar con datos dispersos e irregulares, donde la reconstrucción de
discontinuidades requiere enfoques adaptativos (3), (5).
El núcleo de esta problemática radica en la detección precisa o aproximada de discontinuidades
al procesar datos de funciones no regulares, ya que su correcta identificación permite diseñar
estrategias para aproximar la función subyacente mientras se mitigan oscilaciones no deseadas,
como el fenómeno de Gibbs. Este último surge al aplicar métodos clásicos —diseñados para
funciones regulares— a problemas con discontinuidades, generando oscilaciones espurias en las
aproximaciones. Por ello, una caracterización a priori de las discontinuidades es esencial para
seleccionar técnicas adecuadas y mejorar la precisión en etapas posteriores.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
491
En la literatura, destacan contribuciones como (6), (7), (8), quienes propusieron una
metodología en cuatro etapas para detectar discontinuidades en funciones univariadas:
Construcción de un espacio de aproximación con elementos finitos que incorporen
discontinuidades; Ajuste por mínimos cuadrados a un conjunto de datos
, donde
, para una función
desconocida y discontinua; Detección
de discontinuidades mediante el análisis de oscilaciones asociadas al fenómeno de Gibbs en los
datos; y Localización precisa aplicando un análisis de error en forma de
(
forma) a los
candidatos identificados.
Más recientemente, (9) desarrollaron un marco teórico para detectar y aproximar
discontinuidades en funciones explícitas no regulares a partir de datos dispersos de tipo
Lagrange, extendiendo el método de (10) para fallas verticales. Su enfoque genera una curva
poligonal que aproxima el conjunto de discontinuidades y propone un cubrimiento mediante
discos cuyos radios dependen de la posición de los centros en dicha curva. Si bien el trabajo
teórico se presenta en (9), la implementación computacional se detalla en (11), marcando un
avance en la aplicabilidad de estas técnicas.
Estos métodos abren caminos para aplicaciones en geofísica, ingeniería y ciencias de materiales,
donde la modelización de discontinuidades es crucial. No obstante, persisten desafíos como la
generalización a dimensiones superiores, la integración de incertidumbre en datos medidos y la
optimización computacional. Futuras investigaciones podrían explorar hibridaciones con
aprendizaje automático o técnicas geoestadísticas para mejorar la robustez en escenarios reales.
Por tanto, el propósito de la presente investigación fue analizar la metodología de construcción
de familia de aproximantes para localizar fallas verticales latentes en superficies discontinuas, a
partir de un conjunto de datos sintéticos irregulares y dispersos de tipo Lagrange, con la
finalidad de estudiar su convergencia y validar su consistencia a través del lenguaje de
programación Python. Para lograrlo se realizó lo siguiente: Estudiar la aproximación de
discontinuidades en funciones no regulares, definidas explícitamente por
;
Construir una secuencia de curvas poligonales que aproximan y localicen la falla vertical
estudiada; Analizar la convergencia de estas aproximaciones para la localización fallas verticales
latentes en superficies discontinuas; y, Desarrollar una metodología para detectar fallas
verticales latentes en superficies discontinuas, que utiliza datos dispersos de tipo Lagrange.
MATERIALES Y MÉTODOS
Para esta investigación corresponde a un estudio aplicado y computacional, con enfoque
cuantitativo y diseño experimental - sintético, dado que se trabajó con datos generados de
forma artificial. De este modo, este apartado está dedicado a presentar los materiales y
métodos utilizados para lograr alcanzar los objetivos formulados en la presente investigación.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
492
Materiales
Para efectuar el presente estudio, se utilizó una implementación computacional dentro del
entorno de trabajo de Google Colab. Esta plataforma es un servicio gratuito en la nube de
Google que permite ejecutar y programar en Python directamente desde el navegador, sin
necesidad de configurar un entorno local. Este lenguaje muy popular, fue la herramienta más
relevante utilizada para la consolidación de los resultados encontrados con respecto a la
detección y convergencia de aproximantes para fallas verticales latentes en superficies
discontinuas, para después realizar sus respectivos análisis. Específicamente, para el
procesamiento, análisis y visualización de los datos sintéticos Lagrange, se aprovecharon
librerías de código abierto como NumPy (cálculos numéricos), SciPy (manipulación) y Plotly
(gráficos interactivos)
Métodos
En un primer momento, se utilizó el algoritmo de (10) para detectar las líneas de falla de un
conjunto de datos dispersos. Específicamente, esta metodología se esquematiza de la siguiente
manera
3
:
3
denota la etapa
de la metodología de detección del conjunto de discontinuidad
; mientras que
denota
3
denota la etapa la etapa de la metodología de detección del conjunto de discontinuidad ; mientras que
correspondiente al paso
de la etapa
del mismo método; y asimismo,
significa el subpaso
del paso
de la
etapa
. Además,
significa el resultado obtenido en la etapa
.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
493
La implementación se realizó en Python utilizando Google Colab como entorno de desarrollo,
donde el código se ejecutó en entorno basado en Jupyter Notebook, accesible desde la nube. Se
debe mencionar que los datos sintéticos se generaron a partir de la simulación de una curva de
falla polinómica de sexto grado en el intervalo 2 a 16 en el dominio. Los puntos se distribuyeron
de forma aleatoria alrededor de la curva, en el que se generaron 32 nodos equiespaciados en
0.2 unidades. Además, se realizaron 7 iteraciones, donde el criterio de parada que se utilizo es
un tipo de convergencia visual entre la curva poligonal y la curva de falla real. Como criterio
numérico, se consideró que la distancia máxima entre puntos medios consecutivos en
iteraciones sucesivas fuera menor a
.
Adicionalmente, la metodología propuesta en esta investigación para la construcción de familias
de aproximantes destinadas a la detección y aproximación de fallas verticales latentes en
superficies discontinuas se complementa con los resultados de (9) y (11). La articulación de
estos referentes teóricos, bajo supuestos razonables sobre el conjunto de datos considerado,
permitió fortalecer el análisis de convergencia de dichas aproximantes para la detección de
fallas verticales en superficies discontinuas.
RESULTADOS
En esta sección se exponen los principales resultados obtenidos a través de una implementación
computacional en Python para la detección de fallas verticales latentes en superficies
discontinuas y el análisis de convergencia de sus aproximantes. Estos hallazgos permiten un
análisis posterior que valida teórica y numéricamente la convergencia de la familia de
aproximantes propuesta, sustentando así su eficacia.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
494
Figura 1. Conjunto de nodos correspondientes al
conjunto y curva de falla
Figura 2. Triangulación
basada en el
conjunto de nodos de
.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
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Figura 3. Curva poligonal aproximante
de la falla
vertical
.
Figura 4. Curva poligonal aproximante
de la falla
vertical
.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
496
Figura 5. Curva poligonal aproximante
de la
falla vertical
.
Figura 6. Curva poligonal aproximante
de la falla
vertical
.
Figura 7. Comparación entre la curva de falla
vertical
y la aproximante
Figura 8. Curva poligonal aproximante
de la falla
vertical
.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
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Figura 9. Comparación entre la curva de falla vertical
y la aproximante
.
Figura 10. Curva poligonal aproximante
de la falla
vertical
.
Figura 11. Comparación entre la curva de falla vertical
y la aproximante
Figura 12. Curva poligonal aproximante
de la falla
vertical
.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
498
Figura 13. Comparación entre la curva de falla vertical
y la aproximante
.
Figura 14. Ilustración de la convergencia de la
aproximante
hacia la curva de falla vertical
.
DISCUSIÓN
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CONCLUSIONES
El estudio de la convergencia de las familias de aproximantes basada en la metodología para la
detección de fallas verticales latentes en superficies discontinuas explícitas demostró ser
efectiva y consistente, siendo el aporte más destacado de esta investigación. En este contexto,
las pruebas realizadas con datos sintéticos dispersos e irregulares de tipo Lagrange, utilizando el
lenguaje de programación Python generaron las siguientes consideraciones: primero, la
implementación en Python en cada una de las etapas de la metodología fue exitosa,
permitiendo una transición fluida y efectiva desde el enfoque teórico hacia el numérico;
segundo, tanto el mallado triangular inicial como cada uno de sus refinamientos en los distintos
niveles, cristalizaron la construcción de una secuencia de curvas poligonales aproximantes
óptimas, es decir, una por cada iteración; tercero, las curvas poligonales resultantes aproximan
y localizan la falla vertical estudiada; y, cuarto, el análisis de convergencia de estas
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
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aproximaciones demostró buenos resultados, más aún, existe convergencia uniforme de
manera efectiva.
En términos generales, la metodología propuesta para la detección y convergencia de fallas
verticales latentes en superficies discontinuas sienta las bases para construir aproximaciones
óptimas. Donde, estas aproximaciones son lo suficientemente flexibles para adaptarse a los
requisitos de entrada necesarios para su futura implementación numérica y computacional en
algoritmos enfocados al proceso de aproximación de funciones no regulares.
Esta investigación evidencia la viabilidad del método propuesto para la detección y
convergencia de aproximantes en fallas verticales latentes, aunque se reconoce que el uso
exclusivo de datos sintéticos limita su validación práctica. Futuras investigaciones deberían
incorporar datos reales, preferiblemente de campo o laboratorio, para evaluar el
comportamiento del algoritmo en condiciones más heterogéneas y con ruido experimental.
Asimismo, se sugiere explorar técnicas híbridas que combinen diferentes enfoques de
interpolación y optimización, junto con un análisis riguroso de sensibilidad, para mejorar la
precisión en la identificación de discontinuidades. Estos avances no solo fortalecerían el modelo,
sino que también ampliarían su aplicabilidad en problemas geofísicos, estructurales o
industriales donde las fallas latentes juegan un papel crítico.
Como perspectiva futura, se recomienda un análisis de los errores sistemáticos y estocásticos en
el proceso de detección y aproximación de fallas, considerando tanto su origen como su
propagación a lo largo del algoritmo. Sería valioso desarrollar un marco cuantitativo que
discrimine entre errores inherentes a la metodología y aquellos asociados a la naturaleza de las
discontinuidades, posiblemente mediante técnicas de incertidumbre como intervalos de
confianza o métodos estocásticos. Esto permitiría no solo optimizar los parámetros del modelo,
sino también establecer límites de confiabilidad para su aplicación en escenarios reales, donde
la presencia de ruido y datos incompletos es habitual.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo agradece el respaldo brindado por los Programas de Maestría en Matemática
aplicada con mención en Matemática Computacional de la Universidad Nacional de Chimborazo
(UNACH), el Doctorado en Matemáticas de la Universidad Simón Bolívar (USB) y la carrera de
Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo (ESPOCH), fundamentales para la
realización de esta investigación.
DECLARACIÓN DE INTERÉS
Los autores declaran que no existe conflicto de interés posible.
DETECCIÓN Y CONVERGENCIA DE APROXIMANTES PARA FALLAS VERTICALES LATENTES EN SUPERFICIES DISCONTINUAS
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